Tutorial de Electrónica;
Tema 6: Régimen transitorio por ecuaciones diferenciales.

Aplicación interactiva que muestra el funcionamiento de un circuito RLC:

1.- Introducción.-

El circuito serie RLC es un ejemplo de circuito de segundo orden. Por esta razón su comportamiento transitorio no responde al comportamiento exponencial típico de los cicuitos RC o RL. Vamos a comprobarlo con la siguiente configuración:

Figura 1 de la aplicación interactiva 1

2.- Análisis.-

En primer lugar, cuando t < 0, el circuito no está alimentado y suponemos que todas las variables están a cero. Para t >= 0, podemos utilizar la ley de voltajes de Kirchoff, que en nuestro circuito puede plantearse como sigue:
Ecuación 1 de la ap.inter. 1

Utilizando las expresiones que gobiernan resistencias, bobinas y condensadores, obtenemos:
Ecuación 2 de la ap.inter. 1

y derivando,
Ecuación 3 de la ap.inter. 1

Tenemos por tanto una ecuación diferencial de segundo orden (de ahí el nombre de circuito de segundo orden). Para resolverla precisamos de dos condiciones iniciales. Como es habitual, tomaremos el valor de la corriente y su derivada en t = 0. Puesto que hemos supuesto que en tiempos anteriores a cero el circuito está en reposo, la corriente que circula por él será nula. En particular, , y por tanto,FALTAN ECUACIONES. Como la corriente no puede cambiar bruscamente en una bobina, en FALTA ECUACIÓN la corriente que atraviesa la inductancia L debe ser la misma que en FALTA ECUACIÓN. De aquí, la primera condición inicial es:
Ecuación 8 de la ap.inter. 1

Igual de simple es calcular la segunda. Buscamos el valor de la derivada de la corriente en ECUACIÓN. Para ello utilizaremos la expresión que gobierna el voltaje en las bobinas:
Ecuación 10 de la ap.inter. 1

Basta entonces conocer el voltaje vL(0+) para despejar la segunda condición inicial. Para ello, tengamos en cuenta que la tensión que cae en el condensador C (igual que la corriente en la bobina) debe ser una función continua, y dado el estado de reposo para t < 0, esto significa que ECUACIÓN. Por otro lado, y dado que ya conocemos corriente en ECUACIÓN por la primera condición inicial, podemos aplicar la ley de Ohm en la resistencia, obteniendo que ECUACIÓN. Como además se debe seguir cumpliendo la ley de voltajes en la malla, el voltaje en bornas de la bobina debe igualar el de la fuente, es decir, ECUACIÓN. Por tanto, la segunda condición inicial que buscamos es:
Ecuación 15 de la ap.inter. 1

Podemos ahora resolver la ecuación diferencial del circuito. Para ello suponemos un comportamiento exponencial de la corriente, ECUACIÓN, y operando obtenemos:
Ecuación 17 de la ap.inter. 1

Ecuación 18 de la ap.inter. 1

Vamos a tener distintos comportamientos según sea el discriminante de esta ecuación de segundo grado Ecuación 19 de la ap.inter. 1



a) D > 0 : Circuito sobreamortiguado
En este caso la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones reales, y por tanto la intensidad en el circuito es:

Ecuación 20 de la ap.inter. 1

b) D = 0 : Circuito críticamente amortiguado
Ahora la ecuación de segundo grado presenta una solución real doble. En este caso la corriente puede expresarse como:

Ecuación 21 de la ap.inter. 1

c) D < 0 :
La ecuación de segundo grado tiene raíces complejas, lo que significa que, en su forma más general, la corriente va a comportarse como una sinusoidal cuya amplitud se atenúa exponencialmente. Para el circuito que estamos analizando, la expresión de la intensidad es como sigue:
Ecuación 22 de la ap.inter. 1

donde se ha definido Ecuación 23 de la ap.inter. 1

y Ecuación 24 de la ap.inter. 1

. Podemos distingir dos casos según el valor de sigma:

c.i)sigma>0: Circuito subamortiguado

Según se ha explicado, la forma que va a tomar la corriente en este caso es el de una sinusoide cuya amplitud decrece exponencialmente con el tiempo.

c.ii)sigma=0: Circuito oscilatorio

Esto va a suceder cuando R = 0. En este caso la amplitud de la sinusoide no se va a ver atenuada, obteniéndose un oscilador en la frecuencia característica del circuito, es decir, 1/LC. La expresión de la corriente en este caso es:

Ecuación 25 de la ap.inter. 1

3.- Aplicación interactiva.-

La siguiente aplicación permite observar el distinto comportamiento del circuito RLC según distintos valores de los componentes. Para ello, introduzca los valores que desea y pulse el botón 'dibujar'.

No se puede mostrar el applet