Tutorial de Comunicaciones Ópticas 
Tema I: Propagación de señales en F.O.
  

No linealidades de la Fibra


1. Introducción
2. Modulación de autofase (SPM)
3. Efectos de la SPM en pulsos gaussianos
    · Aplicación interactiva 1
    · Aplicación interactiva 2
4. Modulación de fase cruzada (CPM)
5. Mezcla de cuarta onda (FWM)
     · Aplicación interactiva 3
6. Scattering estimulado de Raman (SRS)
     · Animación del SRS
7. Scattering estimulado de Brillouin (SBS)
     · Animación del SBS
8. Referencias
9. Test

 
 
 

1. Introducción

    El hecho de asumir que los sistemas de comunicaciones ópticas se comportan linealmente es una aproximación adecuada cuando se opera a unos niveles de potencia moderados (unos pocos mW.) y a velocidades de transmisión que no superen los 2.5 Gb/s. Sin embargo, a velocidades o potencias superiores ya empiezan a ser importantes los efectos de las no linealidades, y en el caso de sistemas WDM estos efectos son importantes incluso con potencias y velocidades de transmisión moderadas, condicionando el número de canales del sistema y la separación entre ellos.

    Las no linealidades se pueden clasificar en dos categorías:


    La respuesta de cualquier dieléctrico a campos electromagnéticos intensos es una respuesta no lineal. Por lo tanto, al aplicar un campo eléctrico E a una fibra óptica, aparece un campo de polarización inducida P que resulta no ser lineal con el campo E. En condiciones de homogeneidad, isotropía, pero no linealidad, este campo P se puede expresar como:

P(r,t) = PL(r,t) + PNL(r,t)

donde PL(r,t) corresponde a la polarización en condiciones de linealidad y PNL(r,t) se denomina polarización no lineal, que como su nombre indica surge debido a las condiciones de no linealidad. Además se cumple que:

PNL(r,t) = e0 c(3) E3(r,t)

donde c(3) recibe el nombre de susceptibilidad no lineal de tercer orden. La susceptibilidad no lineal de segundo orden c(2) no se tiene en cuenta por carecer de importancia en materiales con simetría molecular como es el caso del SiO2.

    Puesto que el índice de refracción está relacionado con la susceptibilidad por la ecuación
 

la polarización no lineal es la causante de que el índice de refracción llegue a depender de la intensidad del campo dando lugar a efectos no lineales como el SPM, CPM o FWM.
 

    Por otra parte, en los efectos de scattering, un fotón de la onda incidente desaparece para dar lugar a un fotón de frecuencia inferior y un fonón con la energía y el momento adecuado. De este forma, a medida que la onda incidente se propaga por la fibra, pierde potencia que va a para a otra onda llamada onda Stokes. En general, los fenómenos de scattering se caracterizan por un coeficiente de ganancia g, y una potencia umbral a partir de la cual los efectos comienzan a ser notables.


 

2. Modulación de autofase (SPM)

    El efecto SPM surge debido a que el índice de refracción de la fibra tiene una componente dependiente de la intensidad. Este índice de refracción no lineal induce un desplazamiento de fase que es proporcional a la intensidad del pulso. De esta forma, las diferentes partes del pulso sufren diferentes desplazamientos de fase lo que provoca que el pulso adquiera un cierto chirp, que a su vez modificará  los efectos de la dispersión sobre el pulso.

    Para comprender los efecto de la SPM, se puede considerar un sistema de un único canal donde el campo eléctrico es de la forma:
 

    En presencia de no linealidades en la fibra, para determinar cómo evoluciona dicho campo a lo largo de la fibra se necesita hallar la constante de propagación b0. Al resolver la ecuación de ondas que incluye los efectos de las no linealidades, se puede encontrar que la ecuación simplificada para la constante de propagación b0 es la siguiente:
 

de esta forma el campo eléctrico E(z,t) es una sinusoide cuya fase cambia con E2z.

    Puesto que la relación entre b y el índice de refracción n en el régimen lineal es b=wn/c, la ecuación anterior se puede interpretar como una dependencia del índice de refracción con la intensidad.
 

donde es el coeficiente de índice no lineal.

    Debido a la SPM, la fase del campo eléctrico contiene un término E2 que es proporcional a la intensidad del campo. Por lo tanto, cada parte del pulso sufrirá un desplazamiento de fase diferente dependiendo de la amplitud de cada una de estas partes.

    El signo del desplazamiento de fase debido a la SPM es negativo, por lo tanto el pico del pulso sufre el máximo desplazamiento de fase en valor absoluto (téngase en cuenta que sin valor absoluto, el desplazamiento de fase sería negativo y por lo tanto hablaríamos de mínimos), y los bordes sufren unos desplazamientos de fase cada vez menores. Ya que la frecuencia es la derivada de la fase, el borde de atrás del pulso sufre un desplazamiento de frecuencia negativo y el de delante uno positivo. Por último, como el chirp es proporcional a la derivada de la frecuencia, esto implica que el factor de chirp k es positivo. Así se llega a la conclusión de que la SPM induce un chirp positivo en los pulsos.

    El efecto de este chirp positivo depende del signo del parámetro b2. Si b2>0 los pulsos experimentan una dispersión normal, y si b2<0 los pulsos experimentan una dispersión denominada anormal. Por lo tanto, en el régimen de dispersión normal b2>0, y el producto kb2>0, por lo que la SPM aumenta el efecto de ensanchamiento provocado por la dispersión. Sin embargo, en el régimen de dispersión anómalo b2<0, si los efectos de la dispersión son cercanos pero superiores a los de la SPM, el efecto no lineal reduce el ensanchamiento que se sufre debido a la dispersión.


 

3. Efectos de la SPM en pulsos gaussianos

    Hasta aquí hemos estudiado el efecto de la SPM para ondas planas monocromáticas. En el caso de trabajar con pulsos no monocromáticos con una envolvente compleja A(z,t) las relaciones de dependencia con la intensidad para el índice de refracción y la constante de propagación pasan a ser las siguientes:
 

donde Ae es el área transversal efectiva del núcleo la fibra y g es el coeficiente de propagación no lineal.

    Teniendo en cuenta la dependencia de la constante de propagación con la intensidad y las pérdidas que se ocasionan en la fibra, la ecuación diferencial que gobierna la evolución de un pulso con la forma A(z,t) es la siguiente [Agra92][Agra95]:
 

    En esta ecuación, el término con a se debe a la inclusión de las pérdidas, el término con b2 incorpora el efecto de la dispersión y el término con g incorpora el desplazamiento de fase dependiente de la intensidad, por lo tanto esta ecuación engloba los tres efectos, el de las pérdidas, el de la dispersión y el de la SPM. Además si en esta ecuación se aplican los siguientes cambios de variables:
 

.

se obtiene la ecuación de Schrödinger no lineal (NLSE) modificada para incluir las pérdidas, punto de partida en el estudio que combina los efectos de la GVD y la SPM.
 

donde U es la envolvente del pulso normalizada para tener una potencia de pico igual a la unidad.

    En el estudio de las no linealidades también conviene destacar otra unidad de medida normalizada que se denomina longitud de no linealidad LNL=(gP0)-1. Además, de forma análoga a como ocurría con la longitud de dispersión en el estudio de los efectos de la dispersión, para distancias z<<LNL se pueden despreciar los efectos de la SPM. Por otra parte, el término N introducido en la NLSE, se puede entender a través de la igualdad N2=LD/LNL, de tal forma que si N<<1 se pueden despreciar los efectos de la no linealidad comparados con los de la dispersión.

    Para estimar el chirp inducido por la SPM en pulsos gaussianos, basta con despreciar el término que incluía la dispersión en la ecuación diferencial y al resolverla se obtendrá la solución:
 

donde ze=(1-exp(-az))/a se denomina distancia efectiva y juega el papel de una distancia que es inferior que la distancia z para tener en cuenta las pérdidas en la fibra. Por  lo tanto, la ¨SPM provoca un cambio de fase pero no en la envolvente del pulso, es la dispersión la responsable del ensanchamiento del pulso. Si se parte de un pulso gaussiano sin chirp con envolvente U(0,t)=exp(-t2/2), y se desprecian los efectos de la dispersión, según la ecuación anterior el pulso adquiere un desplazamiento de fase dependiente de la distancia e igual a -(ze/LNL)exp(-t2), por lo tanto la frecuencia angular instantánea será w=w0 + 2ze/LNL t exp(-t2) y el factor de chirp será kSPM= 2ze/LNL exp(-t2) (1-2t2). Representando estos resultados para una distancia efectiva ze=LNL se tiene
 

Desfase Frecuencia angular w-w0 Factor de chirp

como se puede observar, el chirp inducido por los efectos de la SPM no es lineal.

    Para estudiar los efectos combinados del chirp inducido por la SPM y la dispersión habría que resolver numéricamente la NLSE modificada, pero realizando algunas aproximaciones,según [RaSi98] se puede llegar a una expresión para la relación entre las anchuras de los pulsos antes T0 y después Tz de haberse propagado una cierta distancia z.
 

    Esta expresión es similar a la de la relación entre anchuras para tener en cuenta únicamente la dispersión, pero en este caso ze/LNL juega el papel del factor de chirp. Por otra parte, si N<<1, se tiene que LNL>>LDy entonces esta expresión se acerca al caso particular de no existir la SPM


 

Aplicación interactiva 1

    Como primera aproximación a los efectos combinados de la SPM y de la dispersión sobre los pulsos gaussianos, se dispone de una aplicación interactiva. Esta aplicación tras introducir la potencia de pico de un pulso gaussiano sin chirp, la distancia de trabajo y el parámetro GVD de la fibra, muestra el estado de la envolvente del pulso antes y después de propagarse la distancia indicada.

    Además para facilitar estudios analíticos, la aplicación indica al lado de cada pulso cuál es el valor exacto de su anchura Tz para cada distancia, así como los valores de la longitud de dispersión y longitud de no linealidad.


 

Aplicación iteractiva 2

    Como complemento en el estudio de los efectos combinados de la SPM y la dispersión en la propagación de pulsos gaussianos se dispone de la siguiente aplicación interactiva. Esta aplicación muestra la gráfica correspondiente a la relación entre anchuras Tz/T0 en función de la distancia de propagación y en presencia de los efectos de dispersión, SPM y absorción de la fibra.

    Entre otros muchos conceptos, se podrán observar los efectos de la SPM tanto en el régimen de dispersión normal como en el anómalo y su dependencia con la potencia del pulso.


 

4. Modulación de fase cruzada (CPM)

    La CPM surge debido a que el índice de refracción efectivo para una onda depende no sólo de la intensidad de esa onda sino también de la intensidad de cualquier otra onda que se propague junto a ella. Por este motivo, en sistemas WDM, el desplazamiento de fase dependiente de la intensidad del campo y el consecuente chirp inducido por el efecto de la SPM se agrava a causa de las intensidades de las señales de los otros canales.

    Para comprender los efectos de la CPM es suficiente con considerar un sistema WDM con dos canales:
 

     Resolviendo la ecuación de ondas que incluye los efectos de las no linealidades, se puede encontrar que el campo eléctrico resultante tiene una componente sinusoidal en w1 que a medida que se propaga a través de la fibra adquiere una fase no lineal dependiente de la intensidad dada por
 
 

    El primer término se debe a la SPM, mientras que el efecto del segundo término es lo que se denomina modulación de fase cruzada o CPM. Observe que si E1= E2, para que los dos campos tengan la misma intensidad, el efecto de la CPM sería dos veces peor que el de la SPM. Además, como el efecto de la CPM es cualitativamente similar al de la SPM, es lógico esperar que la CPM aumente el chirp agravando los consecuentes efectos del ensanchamiento del pulso en sistemas WDM.

    En la práctica, el efecto de la CPM en sistemas WDM que operan sobre fibras monomodo se puede reducir de forma significativa aumentando el espaciado entre los canales. Así, debido a la dispersión, las constantes de propagación bi llegan a ser lo suficientemente diferentes como para que los pulsos de cada canal viajen de forma independiente. Esto es, la interacción arriba descrita disminuye porque "no les da tiempo a modificarse de fase".


 

5. Mezcla de cuarta onda (FWM)

    La FWM es un fenómeno por el cual cuando se propagan varias ondas a frecuencias w1, w2...wn, la dependencia con la intensidad del índice de refracción no sólo induce a desplazamientos de fase dentro de cada canal sino también a la aparición de nuevas ondas a frecuencias wi± wj±wk. Entre estas señales, las más problemáticas son las que corresponden a

wijk = wi + wj - wk ,   con i y j distintos de k

porque para medios en los que la dispersión no es nula el resto de ellas puede despreciarse debido a la carencia de concordancia de fase.

    Para comprender los efectos de la FWM se puede considerar un sistema WDM con tres canales donde el campo eléctrico es de la forma
 

    Resolviendo la ecuación de ondas que incluye los efectos de las no linealidades, se puede encontrar que el campo eléctrico resultante tiene componentes sinusoidales en w1, w2 y w3, correspondientes a las ondas de partida que sufren los efectos de la SPM y CPM, y también en wi± wj±wk correspondientes a los efectos de la FWM. De entre estos últimos, los términos en

wijk = wi + wj - wk ,   i,j,k={1,2,3} con i y j distintos de k

aún en presencia de dispersión, pueden llegar a satisfacer la condición de concordancia de fase por tener una constante de propagación casi constante para esas frecuencias, sin embargo el resto de componentes no la satisfarán, y por lo tanto podrán despreciarse. Teniendo en cuenta las pérdidas en la fibra, la potencia de estas nuevas ondas generadas debido al efecto FWM [RaSi98][TCFGD95][OSYZ95], será de
 


donde dijk es un factor de degeneración cuyo valor es 3 cuando i=j, y de valor 6 cuando i es distinto de j.
 

 

Aplicación iteractiva 3

    Esta aplicación interactiva muestra el espectro de potencia que se genera, debido a la FWM, a la salida de una fibra óptica. La aplicación considera un sistema formado por tres tonos diferentes de la tercera ventana de transmisión cuya potencia no sea superior a un watio.

    Para facilitar estudios analíticos, la aplicación genera un cuadro resumen con las longitudes de onda y potencia asociada para cada una de las componentes espectrales.


 

6. Scattering estimulado de Raman (SRS)

    El SRS es un efecto de banda ancha mediante el cual si se introducen en una fibra dos o más señales a diferentes longitudes de onda se produce una transferencia de potencia de la señal de mayor frecuencia a la de menor frecuencia. Además el acoplo de potencia se puede producir tanto en el sentido de la propagación de las señales como en el sentido inverso, siempre y cuando en ese momento haya presencia de potencia en los dos canales.

    La interacción entre la onda incidente y la onda Stokes (onda a la que se le transfiere la potencia) está gobernada por la siguiente pareja de ecuaciones [Agra95]
 
 

donde IP es la intensidad de la onda incidente, IS es la intensidad de la onda Stokes, los términos aP y aS son los coeficientes de absorción de la onda incidente y Stokes respectivamente y gR es el coeficiente de ganancia de Raman, que depende de la composición del núcleo de la fibra. En la siguiente figura se puede ver el coeficiente gR para una fibra de silicio en función del desplazamiento de frecuencia a una longitud de onda lP=1.55 mm.
 

    Lo más destacable de la ganancia de Raman es que se extiende a lo largo de un gran rango de frecuencias (hasta 40 THz.), y para una longitud de onda de lP=1.55 mm alcanza un valor máximo de aprox. 6.67·10-14 m/W para un desplazamiento de frecuencia de aprox. 13.2 THz..

Por otra parte en el SRS existe una potencia umbral que se define como la potencia de la onda incidente para la cual las dos ondas, incidente y Stokes, tienen a la salida de la fibra la misma potencia. Según [Agra92] y [Agra95], una buena aproximación para esta potencia umbral es
 

donde Le es la longitud efectiva de la fibra, y b puede tomar un valor entre 1 y 2 dependiendo de las polarizaciones relativas de la onda incidente y Stokes. El peor de los casos será para b=1 ya que entonces la potencia umbral será la menor posible. Por ejemplo, asumiendo b=1, un valor típico de la potencia umbral para una onda incidente a lP=1.55 mm., es de 600 mW.

    Del mismo modo, también existe una potencia umbral para la onda Stokes que se puede generar en el sentido opuesto al de la propagación de la onda incidente, y la expresión es similar, sin más que sustituir el valor 16 por 20. Como el umbral para el SRS hacia delante se alcanza antes que el umbral para el SRS hacia atrás, esa es la razón por la cual éste último no se suele tener tanto en cuenta en el estudio de los sistemas de comunicaciones ópticas.

    Por último cabe destacar que para reducir los efectos de la SRS conviene reducir al máximo el espaciado entre canales y a ser posible no superar la potencia umbral.


 

Animación del SRS

    Esta animación representa el efecto del SRS desde el punto de vista cuántico: un fotón de la onda incidente cede energía a una molécula de la fibra y se convierte en un fotón de la onda Stokes que se propagará en el mismo sentido que la onda incidente (se toma este sentido porque requiere una potencia umbral inferior). El fotón de la onda incidente está representado por una bola de color azul, y el fotón de la onda Stokes por una bola de color rojo. Estos colores no se han tomado al azar, sino que se ha tenido en cuenta que según el espectro visible, la componente del azul es de mayor frecuencia que la componente del rojo (así se guarda la analogía, ya que, la onda incidente es de mayor frecuencia que la de Stokes).

    Cuando el fotón de la onda incidente interactúa con la molécula de la fibra (bola de color lila), le cede energía y por eso la molécula comienza a vibrar, mientras que el fotón pasa a un nivel energético menor convirtiéndose en un fotón de la onda Stokes (la bola de color azul pasa a ser de color rojo).

    La animación dispone de una interfaz con una serie de botones de control en la parte inferior: botón para ir al inicio de la animación, botón para comenzar la reproducción, botón de parada, botón para ir al final de la animación, y un último botón para indicar si se quiere que la animación se repita cíclicamente o no.


 

7. Scattering estimulado de Brillouin (SBS)

     El origen del SBS es similar al del SRS, un fotón de la onda incidente desaparece para dar lugar a un fotón de frecuencia inferior y un fonón con la energía y el momento adecuado. Sin embargo existen algunas diferencias. En el SBS la onda Stokes se propaga en el sentido opuesto al de la onda incidente, mientras que en el SRS podía propagarse en los dos sentidos, y el umbral de potencia depende de la anchura espectral de la onda incidente. Estas diferencias se deben a que en el SBS se ven involucrados fonones acústicos en lugar de ópticos como era el caso del SRS.

    Además en el SBS, la ganancia es conocida como ganancia de Brillouin, su espectro tiene una anchura de aproximadamente 20 MHz, y también depende de la composición del núcleo de la fibra. Por otra parte, el coeficiente de ganancia gB, es casi independiente de la longitud de onda incidente y su valor máximo para fibras de silicio es de aprox. 4·10-11 m/W y lo alcanza para un desplazamiento de frecuencia de aprox 11.1 GHz.

Sin embargo, cuando la anchura espectral de la onda incidente es superior a la anchura del espectro de la ganancia, ésta se ve reducida según la siguiente expresión
 

donde DfB equivale a la anchura espectral de la ganancia y Dfin equivale a la achura espectral de la onda incidente. Por lo tanto, para el caso de pulsos con una anchura T0 lo suficientemente pequeña, el valor del coeficiente gB puede caer por debajo del coeficiente gR.

    La interacción entre la onda incidente y la onda Stokes está gobernada por una pareja de ecuaciones similar a las del SRS [RaSi98] [Agra95]
 

    Pero en este caso cambia el signo de la derivada dIs/dz, para tener en cuenta el sentido opuesto de la propagación de la onda de Stokes. Además como la onda incidente y la onda Stokes tienen frecuencias muy próximas el cociente de frecuencias se puede considerar igual a 1 y el coeficiente de absorción único e igual a a.

    Con respecto a la potencia umbral en el SBS, una buena aproximación según [RaSi98] [Agra92][Agra95] es
 

     Asumiendo b=1, un valor típico de la potencia umbral para fibras de silicio es de 1.3 mW. Pero si Dfin>DfB, la potencia umbral aumenta y la aproximación pasa a ser
 

    Por último cabe decir que para reducir los efectos de la SBS se puede optar por aumentar la anchura espectral de la onda incidente para así disminuir la ganancia de Brillouin o también procurar no superar la potencia umbral.


 

Animación del SBS

        Esta animación representa el efecto del SBS desde el punto de vista cuántico: un fotón de la onda incidente cede energía a una molécula de la fibra y se convierte en un fotón de la onda Stokes que se propagará en el sentido opuesto al de la onda incidente. El fotón de la onda incidente está representado por una bola de color rojo, y el fotón de la onda Stokes por una bola de color rojo claro. La elección de los colores al igual que en la animación del SRS se ha realizado manteniendo una analogía con las frecuencias del espectro visible. La componente del color rojo es de mayor frecuencia que la componente del color rojo claro, pero la distancia frecuencial es menor que la que existe entre el azul y el rojo, y esto se debe a que la diferencia entre las frecuencias de la onda incidente y Stokes en el SBS es inferior que en el SRS.

    Cuando el fotón de la onda incidente interactúa con la molécula de la fibra (bola de color lila), le cede energía (pero menos que en el SRS) y por eso la molécula comienza a vibrar (con menor velocidad que en el SRS), mientras que el fotón pasa a un nivel energético menor convirtiéndose en un fotón de la onda Stokes (la bola de color rojol pasa a ser de color rojo claro).

    La animación dispone de una interfaz con una serie de botones de control en la parte inferior: botón para ir al inicio de la animación, botón para comenzar la reproducción, botón de parada, botón para ir al final de la animación, y un último botón para indicar si se quiere que la animación se repita cíclicamente o no.
 


 
 

8. Referencias
 

[RaSi98]   R. Ramaswami y K. N. Sivarajan. 
 Optical Networks: A practical Perspective. 
 The Morgan Kaufmann Series in Networking. Morgan Kaufmann  Publishers, Inc. San Francisco, 1998.
[Agra92]   G. P. Agrawal. 
 Fiber Optic Communication Systems. 
 John Wiley and Sons, Inc., New York, 1992.
[Agra95]  G. P. Agrawal.
 Nonlinear Fiber Optics, 2nd Edition.
 Academic Press,   San Diego, CA, 1995.
[TCFGD95]  R. W. Tkach, A. R. Chraplyvy, F. Forghieri, A. H. Gnauck y R. M. Derosier.
 Four-Photon Mixing and High-Speed WDM Systems.
 Journal of Lightwave Technology, vol. 13 nº 5, Mayo 1995.
[OSYZ95]  M. J. O'Mahony, D. Simeonidou, A. Yu y J. Zhou.
 The Design of a European Optical Network.
 Journal of Lightwave Technology, vol. 13  nº5, Mayo 1995

 

9. Test

1. Los efectos de la SPM provocan...
un desplazamiento en la fase del pulso
un desplazamiento en la frecuencia central del pulso
un desplazamiento en la envolvente del pulso

2. La no linealidad denominada CPM se debe...
a que el índice de refracción efectivo de una onda depende de la intensidad de cualquier onda que se propague con ella
a la producción de un batido entre las distintas señales que se propagan por la fibra

3. En el fenómeno de la FWM...
se generan espureos equiespaciados con la misma potencia
se generan espureos con la misma potencia pero no tienen porqué estar equiespaciados
se generan espureos que pueden tener diferentes potencias y estar ubicados a diferentes frecuencias

4. Debido al SRS se produce una transferencia de potencia...
de la señal de menor frecuencia a la de mayor frecuencia
de la señal de mayor frecuencia a la de menor frecuencia

5. Debido al SBS se produce una transferencia de potencia de una señal a otra...
que se puede propagar en cualquier sentido
que se propaga en el mismo sentido
que se propaga en sentido opuesto