Tutorial de Comunicaciones Ópticas 
Tema I: Propagación de señales en F.O.

 Modos de Propagación



 
 

1.Introducción
1.1. Ecuaciones de Maxwell
2. Ecuaciones de Maxwell para una fibra óptica
3. Resolución de la ecuación de ondas
3.1. Resolución de la ecuación de ondas en el núcleo de la fibra.
3.2. Resolución de la ecuación de ondas fuera del núcleo de la fibra.
4. La ecuación de dispersión.
5. Resolución de la ecuación de dispersión.
6. Diagrama b-V
7. Modos Linealmente Polarizados (LP)
8. Flujo de Potencia

 
 
 

1. Introducción

    Hasta ahora hemos analizado la propagación en la guia planar.  Consideremos a continuación la guia cilíndrica cuya geometría corresponde con una fibra óptica.  Su esctructura es la siguiente:
 
 

   Pero para que el análisis matemático de la misma se pueda simplificar, la estructura de la Guía cilíndrica se reduce al modelo ideal que se muestra a continuación:
 


 

1.1. Ecuaciones de Maxwell

   Recordemos en primer lugar las ecuaciones de Maxwell que para  medios isótropos, no magnéticos y sin carga libre:
 

    Combinando correctamente estas relaciones, llegamos a las siguientes ecuaciones:


    Podemos observar la similitud que guarda cada una de estas ecuaciones con la expresión general de una ecuación de ondas, que reproducimos a continuación:
 


donde    , donde c es la velocidad de la luz en el vacío y n es el índice de refracción del medio.  La solución a la ecuación de onda es la siguiente:
 


con  .     Por lo tanto, para las ecuaciones de onda de los campos eléctrico y magnético:

  y


 


2. Ecuaciones de Maxwell para una fibra  óptica.

    La simetría cilíndrica de una fibra óptica nos sugiere utilizar coordenadas cilíndricas para estudiar el problema, lo que complica, a priori, un poco los cálculos, dado que las relaciones vectoriales son más complejas.  Sin embargo, resolver las ecuaciones de Maxwell para una  simetría cilíndrica  en coordenadas cartesianas acoplaría las diferentes componentes de forma que las ecuaciones resultantes serían muchísimo más complejas.

Por ser una fibra de salto de índice, vamos a considerar una resolución parcial de las ecuaciones de Maxwell en cada una de las regiones (núcleo y revestimiento) como si fuesen medios homogéneos para posteriormente aplicar las condiciones de contorno.  De las ecuaciones transcendentales obtenidas, calcularemos las características de los modos.

    Una de las  consecuencias más importantes de utilizar la simetría cilíndrica es que las soluciones de las ecuaciones son SEPARABLES en cada una de las variables dentro de cada una de las regiones de la fibra (núcleo y revestimiento).  Es decir, cada una de las soluciones a las  ecuación de ondas  anteriores sería la siguiente:
 


    Donde Ai representa cada una de las incógnitas que tenemos que resolver:
 


    No obstante, solo hay que resolver dos de ellas, porque las ecuaciones de Maxwell permiten relacionarlas con la demás.  Calcularemos inicialmente las componentes Ez y Hz.
 

    Operando sobre las ecuaciones de Maxwell, y asumiendo la forma funcional de las  soluciones, se puede encontrar que las componentes Ez y Hz del campo electromagnético cumplen la siguiente ecuación de ondas en coordenadas cilíndricas:
 
 
Campo Eléctrico Campo Magnético
    Es decir:


    Podemos ver los pasos intermedios por los que se ha pasado hasta llegar a estos resultados. Ver Pasos Intermedios
En la resolución de la ecuación de ondas para guías planas, las dos ecuaciones eran independientes, lo que  daba lugar a modos TE o TM.  En este caso, al ser la  guía bidimensional, las dos componente Ez y Hz no son completamente  independientes, sino que las condiciones de contorno van a acoplar las dos componentes.  Las condiciones de contorno en este caso  para las componentes tangenciales son:
 



3. Resolución de la ecuación de ondas.

Como deciamos en el apartado anterior, y por ser una fibra de salto de índice, vamos a considerar una resolución parcial de las ecuaciones de Maxwell en cada una de las regiones (núcleo y revestimiento) como si fuesen medios homogéneos para posteriormente aplicar las condiciones de contorno.  La ecuación de ondas obtenida en el apartado anterior fue la siguiente:
 


[1]
donde el parámetro q2 estaba definido como:
 

[2]
Las  ecuaciones con esta estructura se denominan ecuaciones diferenciales de Bessel.  Sus soluciones son funciones de Bessel de orden  y dependen, en general del valor de q2.
 

3.1.  RESOLUCION DE LA ECUACION DE ONDAS EN EL NÚCLEO

La condición impuesta a la constante de propagación en la fibra para que los modos fuesen guiados era la siguiente:
 


[3]

Por otra parte, según la ecuación [2] el valor de q en el núcleo de la fibra (qnucleo) viene dado por:
 


y de acuerdo con la ecuación [3],  .  Si  , entonces la solución a la ecuación diferencial de Bessel [1] es:
 

donde C1 y C2 son constantes y  son funciones de Bessel de primera y segunda especie respectivamente.

En este punto conviene detenerse para observar que las soluciones radiales dependen del orden  .  Como es un número entero, la solución a la ecuación de Helmholtz no es única, sino que existen infinitas soluciones, cada una de las cuales da lugar a un patrón de campo electromagnético transversal a la dirección de propagación z único, que se caracteriza por una variación radial y acimutal diferente.  A cada uno de estos patrones es a lo que se denomina MODO.

En  cuanto a los campos en el núcleo de la fibra,  , hay que considerar su comportamiento en las immediaciones de su eje, es decir cuando  .  Comprobando la forma de las funciones de Bessel, C2 = 0, ya que la función  diverge cuando r tiende a 0.
 

3.1.  RESOLUCION DE LA ECUACION DE ONDAS EN EL REVESTIMIENTO
 En este caso, según la ecuación [2] el valor de q en el revestimiento de la fibra (qrevestimiento) viene dado por:
 

y de acuerdo con la ecuación [3],  .  Si  , entonces la solución a la ecuación diferencial de Bessel [1] fuera del núcleo de la fibra es:
 

donde C3 y C4 son constantes y  son funciones modificadas de Bessel de primera y segunda especie respectivamente.

Si se desea que la señal propagada esté confinada en el núcleo, entonces los campos han de ser rápidamente decrecientes o evanescentes en el revestimiento.  La única función de Bessel que presenta dicho comportamiento es la función  .  Necesariamente C3 ha de ser 0, ya que la función   es decreciente con x.

Resumiendo:

La solución de la ecuación de ondas para los campos eléctrico y magnético es:
 
Recordemos que es una solución oscilatoria en el nucleo y evanescente en el revestimiento, siempre que se cumpla la condicón de modos guiados:


El resto de las componentes del campo electromagnético se pueden obtener a partir de Ez y Hz utilizando las ecuaciones de Maxwell:


 


4. La ecuación de dispersión

Faltan por obtener las constantes A, B, C y D, necesarias para que los campos tangenciales  sean contínuas en r=a.   Obtenemos  un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas (A, B, C y D) cuya resolución queda supeditada a que se anule el siguiente determinante:
 

Resolviendo el determinante obtenemos la siguiente ecuación de  dispersion:
 

donde:
 

Ver resolución del determinante paso a paso

    Cada una de las soluciones a las ecuaciones de Maxwell cumplen esta ecuación.  En concreto, también se debe cumplir cuando cualquiera de los modos comience a propagarse por la fibra.  Un modo comienza a propagarse justo cuando b=0.  En este caso, y según la ecuación:
 
 

q2 = 0, por lo que según la ecuación:
 

 

    Analizando la ecuación característica bajo estos supuestos, se llega a que las frecuencias de corte de los modos son los ceros de la función:
 
 


5. Resolucion de la ecuación de dispersion.

Resolver la ecuación de dispersión no es algo  trivial, y por eso vamos, en primer lugar a estudiar un par de casos sencillos.  Utilizaremos como ayuda las  siguientes relaciones:
 

. No existe variacion de las componentes del campo con  .
 

Esta ecuación tiene dos soluciones:

Primera solución:

o  lo que es lo mismo:
 

Se puede comprobar que esta solución corresponde a una situación en la que Ez=0 (modos TE).  Las m soluciones de esta ecuación que cumplan la condición de modo quiado se denominarán TE0m.

Segunda solución:

o lo que es lo mismo:
 

Esta solución corresponde a una situación en la cual Hz= 0 .  Son los modos TM0m.
En estos casos, la componente del campo Hz y Ez pueden ser diferentes de cero a la vez, por lo que a los modos solución de esta ecuación se los denomina modos híbridos, y se les designa por HE o EH dependiendo de cuáles son las componentes que dominan.  En los modos EH dominarán las componentes del campo eléctrico y en los modos HE dominarán las componentes del campo magnético.

Las ecuaciones características de los distintos tipos de modos se resumen a continuación en la siguiente tabla:
 
Modos TM
Modos TE
Modos HE
Modos EH

donde:
 

Podemos ver paso a paso cómo se han obtenido las ecuaciones características de los distintos modos.

6. Diagrama b-V

    Una vez que sabemos a partir de que puntos se empiezan a propagar nuevos modos ( aquellos puntos que cumplen  ), sería necesario calcular con qué características se están propagando.  Para ello lo mejor es dibujar un diagrama V-b, donde para cada posible frecuencia normalizada, se representa el parámetro b con el que los modos se propagan.

    Cada modo que se propaga por la fibra óptica tiene una condición de corte.  Esta condición de corte la vamos a denominar en términos generales unm esto es, , donde por lo tanto sería el orden de la función de Bessel y m sería el número de cero dentor de un orden determinado.

    La tabla siguiente muestra las frecuencias de corte para cada uno de los modos que se pueden propagar por una fibra óptica.
 
 
Modos
Frecuencia de corte
Condición
TE0m
u0m
TM0m
u0m
HE11
0
HE1m
u1(m-1)

    La forma de obtener la relación V-b para cada uno de los modos es la siguiente:

    Utilizando la fórmula:
 

sustituimos en la ecuación característica de cada uno de los distintos  tipos de modo q2a por la expresión      y  fijando V obtenemos los valores de q1 que cumplen dichas ecuaciones para cada uno de los valores de V.  Calculamos el valor de q2 para cada uno de los valores de V y obtenemos el valor de b con la expresion:
 

Lo expuesto anteriormente se puede comprobar con las siguientes aplicaciones: Aplicación interactiva 1 Aplicación interactiva 2
 


7. Modos Linealmente Polarizados.

Veamos qué ocurren en el  caso de que los índices de refracción del núcleo y el revestimiento de la fibra sean muy próximos, es decir que   en este caso las constantes de propagación en medios de índices n1 y n2 se pueden escribir como:
 

.

Teniendo en cuenta la condición impuesta a la constante de  propagación en la fibra para que  los modos sean guiados:
 

en consecuencia,
 

Por lo tanto la ecuación característica de la fibra se transforma en:
 

Analizando esta ecuación se puede llegar a las expresiones de las ecuaciones características de los modos bajo la hipótesis de guiado débil, que se encuentran resumidas en la siguiente tabla:
 
Modos TE y TM
Modos HE
Modos EH

Observamos que varios modos comparten la misma ecuación característica y de esta forma serían modos degenerados.  Gloge propone para estos modos una notación especial, los denomina modos linealmeante polarizados (LP), de acuedo a la siguiente regla:

LP0m para los modos HE1m
LP1m para los modos TE0m, TM0m y HE2m
para los modos  y

Además la notación propuesta por Gloge tiene otro significado:   Un modo  tiene  máximos de intensidad a lo largo del perímetro y m máximos  a lo largo del radio.

Se puede comporbar que, componiendo adecuadamente estos modos, se puede conseguir una vibración del vector campo electromagnético un  un plano (linealmente polarizados).  Por eso se llaman modos LP.

Lo expuesto anteriormente se puede comprobar con las siguientes aplicaciones: Aplicación interactiva 3

Aplicación interactiva 4
 
 
 


 
 

8.Flujo de Potencia

    Consideremos a continuación la cuestión del flujo de potencia que transporta un modo guiado por el núcleo y el revestimiento de la fibra.  Como hemos comprobado anteriormente, el campo electromagnético de un modo guiado por la fibra no es nulo en el revestimiento, sino que decrece de forma  exponencial a medida que nos alejamos del núcleo.  Por lo tanto, la energía electromagnética del modo se transporta, parte por el núceo y parte por el revestimiento, de forma que cuánto más confinado esté el modo, más energía irá por el núcleo, y cuánto más cerca del corte esté, más energía viajará por el revestimiento.  Las cantidades relativas de energía que transporta un modo guiado por el núcleo y el revestimiento se pueden calcular integrando el vector de Poynting en la dirección z sobre la  superficie transversal de la fibra:
 

    Por lo tanto, las expresiones de la potencia que transporta un modo por el núcleo y por el revestimiento de una fibra  son respectivamente:
 
 


    Según estas ecuaciones, la relación de potencia que transporta un modo por el núcleo y la potencia total transporta es la siguiente:

    Con esta expresión, podemos calcular la relación de potencia que transporta un modo por el revestimiento y la potencia total transportada como:
En la siguiente aplicación se muestran las fracciones de potencia transportadas por el núcleo para distintos modos linealmente polarizados en función de la frecuencia normalizada V.

Lo expuesto anteriormente se puede comprobar con la siguiente  Aplicación interactiva